已知函数f（x）=lnx-bx+c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=lnx-bx+c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，f′（x）=(1)/(x)-b，则f′（1）=1-b，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1-b=-1，得b=2，
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=-b+c=-5，将b=2代入得c=-3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（Ⅱ）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）=(1)/(x)-2，
令f′（x）>0得，0<x<(1)/(2)，令f′（x）<0得，x>(1)/(2)，
故f（x）的单调增区间为（0，(1)/(2)），单调减区间为（(1)/(2)，+∞）．