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已知正数a,b,c,x,y,z满足a+x=b+y=c+z=k,求证ay+bz+cx＜k^2
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已知正数a,b,c,x,y,z满足a+x=b+y=c+z=k,求证ay+bz+cx＜k^2
▼优质解答
答案和解析
由条件可知
a+x=k,①
b+y=k,②
c+z=k,③
将三个式子两边分别平方,并相加得
3k^2=(a^2+x^2)+(b^2+y^2)+(c^2+z^2)+2(ax+by+cz),
利用不等式a^2+b^2≥2ab,
3k^2≥2ax+2by+2cz+2(ax+by+cz)=4(ax+by+cz),
所以k^2≥4(ax+by+cz)/3>ax+by+cz
a+x=k,①
b+y=k,②
c+z=k,③
将三个式子两边分别平方,并相加得
3k^2=(a^2+x^2)+(b^2+y^2)+(c^2+z^2)+2(ax+by+cz),
利用不等式a^2+b^2≥2ab,
3k^2≥2ax+2by+2cz+2(ax+by+cz)=4(ax+by+cz),
所以k^2≥4(ax+by+cz)/3>ax+by+cz
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