已知曲线C上的动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为2（1）求曲线C的方程．（2）过点M（1，2）的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线l的方程．

Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为√(2)
（1）求曲线C的方程．
（2）过点M（1，2）的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由题意得|PA|=√(2)|PB|…（2分）；
故√((x+1)2+y2)＝√(2)√((x−1)2+y2)                    …（3分）；
化简得：x²+y²-6x+1=0（或（x-3）²+y²=8）即为所求．  …（5分）；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
将x=1代入方程x²+y²-6x+1=0得y=±2，
所以|MN|=4，满足题意．                                 …（8分）；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-k+2
由圆心到直线的距离d＝2＝(|3k−k+2|)/(√(1+k2))                    …（10分）；
解得k=0，此时直线l的方程为y=2．
综上所述，满足题意的直线l的方程为：x=1或y=2．      …（12分）．