已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1-an+1Sn+an-an+1=12anan+1，则334S12=．

Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1= (1)/(2)a_na_n+1，则 (3)/(34)S₁₂=___．

Answer 1

∵a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=(1)/(2)a_na_n+1，且S_n+1=S_n+a_n+1，
∴（a_n-a_n+1）S_n+(1)/(2)a_na_n+1+a_n-a_n+1=0，
∴S_n+(anan+1)/(2(an-an+1))+1=0；
又∵a₁=1，令n=1，则1+(a2)/(2(1-a2))+1=0，解得a₂=(4)/(3)，
同理可得a₃=(5)/(3)，
猜想a_n=(n+2)/(3)；
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=(1+2)/(3)=1，成立；
②假设当n≤k（k∈N^*）时成立，a_k=(k+2)/(3)，则S_k=(k(1+(k+2)/(3)))/(2)=(k(k+5))/(6)；
∵S_k+(akak+1)/(2(ak-ak+1))+1=0，
∴(k(k+5))/(6)+((k+2)/(3)•ak+1)/((k+2)/(3)-ak+1)+1=0，
解得a_k+1=(k+3)/(3)；
因此当n=k+1时也成立，
综上，对于n∈N^*，a_n=(n+2)/(3)都成立；
由等差数列的前n项和公式得，S_n=(n(n+5))/(6)；
∴(3)/(34)S₁₂=(3)/(34)×(12×(12+5))/(6)=3．