在直角坐标系中有P，Q两点，坐标如图所示，虚线是以原点为圆心的半圆，半圆与x轴围成的区域只存在垂直纸面向外的匀强磁场．大量的同种粒子从P点射入磁场，速度方向均在xy平面内，与

Question

在直角坐标系中有P，Q两点，坐标如图所示，虚线是以原点为圆心的半圆，半圆与x轴围成的区域只存在垂直纸面向外的匀强磁场．大量的同种粒子从P点射入磁场，速度方向均在xy平面内，与轴正方向的夹角分布在0-180°范围内，粒子在磁场做圆周运动的半径R满足l≤R≤2l，所有粒子均不从半圆虚线边界射出．已知粒子质量为m（重力不计），带电量为q（q>0），磁感应强度大小为B．
求：（1）经过Q点时速度方向与y轴垂直的粒子的速度大小．
（2）求虚线半圆的最小半径和从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值和最小值．

Answer 1

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
qvB=m(v2)/(R)
从甲图中可知：R=(l)/(cos30°)
解得v=(2√(3)qBl)/(3m)；
（2）当粒子以最大半径R=2l向x轴负方向发出打得粒子刚好与半圆相切时，虚线半圆的半径最小
由乙图的几何关系知：l²+R²=（r-R）²
解得：虚线半圆的最小半径r=(2+√(5))l
带电粒子在磁场中运动的周期T=(2πR)/(v)
从P点运动到Q点的粒子运动时间t1=(θ)/(360°)T（其中θ为PQ运动轨迹对应的圆心角）
从图丙中可知：以O₃位圆心的粒子，圆心角最大，运动时间最长
由几何关系可知半径R=(2√(3))/(3)l，且满足l<R<2l
由丙图可知圆心角θ=240°
则从P点运动到Q的粒子运动时间最长为t1=(4πm)/(3qB)
以Q₄为圆心的粒子圆心角最小，运动时间最短
半径R=2l
由丙图知圆心角θ为60°
则从P点运动到Q的粒子运动时间最短为t2=(πm)/(3qB)；
答：（1）经过Q点时速度方向与y轴垂直的粒子的速度大小为v=(2√(3)qBl)/(3m)； 
（2）虚线半圆的最小半径为r=(2+√(5))l；从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值为t1=(4πm)/(3qB)，最小值为t2=(πm)/(3qB)．