．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：CE平分∠ACF；（3）若AB=2，当四边形ADCE的

Question

．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求证：CE平分∠ACF；

（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论； （2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可； （3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BCA=60°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60°， ∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60°， ∴∠ACE=∠ECF， ∴CE平分∠ACF． （3）∵△ABD≌△ACE， ∴CE=BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=2， ∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD， 根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值， ∵AB=AC， ∴BD===1． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．