如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=6，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）求几何体AA1EBC的体积．

Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=6，E，F分别为BB₁，AC的中点．

（1）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁；
（2）求几何体AA₁EBC的体积．

Answer 1

（1）如图，连接AC₁交A₁C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁为平行四边形，所以OA=OC₁．
又因为F为AC中点，所以OF∥CC₁且OF=(1)/(2)CC1．
因为E为BB₁中点，所以BE∥CC₁且BE=(1)/(2)CC1．
所以BE∥OF且BE=OF，
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE．
因为AB=CB，F为AC中点，所以BF⊥AC，所以可得OE⊥AC．
因为AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BF，所以可得OE⊥AA₁．
又AA₁，AC⊂平面ACC₁A₁，且AA₁∩AC=A，所以OE⊥平面ACC₁A₁．
因为OE⊂平面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

（2）几何体AA₁EBC是四棱锥C-AA₁EB，高为h=4sin60°=2√(3)，底面为直角梯形，面积为S=(1)/(2)(3+6)×4=18，
得VA1-BB1C1C=(1)/(3)×2√(3)×18=12√(3)，
故几何体AA₁EBC的体积为VAA1EBC=(1)/(2)×4×4×(√(3))/(2)×6-12√(3)=12√(3)．