如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线．

Question

如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：

（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠DEA=∠B=90°，
∵AF=BC，
∴AF=AD，
在△DEA和△ABF中
∵

∠DAE=∠AFB

∠AED=∠B

AD=FA

，
∴△DEA≌△ABF（AAS）；
（2）证明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，
∴DE=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB，
∴DC=DE．
∵∠C=∠DEF=90°
∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

DF=DF

DE=DC

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）
∴∠EDF=∠CDF，
∴DF是∠EDC的平分线．