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设f是定义在（-∞,+∞）上函数,并且满足f（2x）=2f(x).试证：如果f在（-∞,+∞）上有界,则f（x）=0
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设f是定义在（-∞,+∞）上函数,并且满足f（2x）=2f(x).试证：如果f在（-∞,+∞）上有界,则f（x）=0
▼优质解答
答案和解析
假设在R上存在一点a,使得f(a)≠0
则f(a·2^n)=2f(a·2^(n-1))=...=(2^n)f(a)
令n->﹢∞,即得f(a·2^n)=(2^n)f(a)->∞
这与f(x)在R上有界矛盾,∴假设不成立
即在R上均有f(x)=0
则f(a·2^n)=2f(a·2^(n-1))=...=(2^n)f(a)
令n->﹢∞,即得f(a·2^n)=(2^n)f(a)->∞
这与f(x)在R上有界矛盾,∴假设不成立
即在R上均有f(x)=0
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