计算I=∮L+xdy-ydxx2+y2，其中L是xoy面上的任一条包含原点O（0，0）的简单光滑闭曲线，其方向取逆时针方向．

Question

计算I=∮L+(xdy-ydx)/(x2+y2)，其中L是xoy面上的任一条包含原点O（0，0）的简单光滑闭曲线，其方向取逆时针方向．

Answer 1

由题意，P（x，y）=(-y)/(x2+y2)，Q（x，y）=(x)/(x2+y2)，则
(∂P)/(∂y)=(y2-x2)/((x2+y2)2)，(∂Q)/(∂x)=(y2-x2)/((x2+y2)2)，(∂Q)/(∂x)-(∂P)/(∂y)=0，（x，y）≠（0，0），
由于L所围成的区域D中含O（0，0），(∂P)/(∂y)、(∂Q)/(∂x)在D内除O（0，0）外都连续，
此时在D内取ε>0充分小，使得x²+y²≤ε²不与曲线相交或相切，
由Green公式，知

L

(xdy-ydx)/(x2+y2)=

∮

x2+y2=ɛ2

(xdy-ydx)/(x2+y2)=(1)/(ɛ2)

∮

x2+y2=ɛ2

xdy-ydx
=(1)/(ɛ2)

∫∫

x2+y2≤ɛ2

2dxdy
=(1)/(ε2)•2πε2=2π．