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对于平面直角坐标系xOy中的点P(m,n),定义一种变换:作点P(m,n)关于y轴对称的点P′,再将P′向左平移k(k>0)个单位得到点Pk′,Pk′叫做对点P(m,n)的k阶“ℜ”变换.(1)求P(3
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对于平面直角坐标系xOy中的点P(m,n),定义一种变换:作点P(m,n)关于y轴对称的点P′,再将P′向左平移k(k>0)个单位得到点Pk′,Pk′叫做对点P(m,n)的k阶“ℜ”变换.
(1)求P(3,2)的3阶“ℜ”变换后P3′的坐标;
(2)若直线y=3x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,点A的2阶“ℜ”变换后得到点C,求过A,B,C三点的抛物线M的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线M的对称轴与x轴交于D,若在抛物线M对称轴上存在一点E,使得以E,D,B为顶点的三角形是等腰三角形,求点E的坐标.
(1)求P(3,2)的3阶“ℜ”变换后P3′的坐标;
(2)若直线y=3x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,点A的2阶“ℜ”变换后得到点C,求过A,B,C三点的抛物线M的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线M的对称轴与x轴交于D,若在抛物线M对称轴上存在一点E,使得以E,D,B为顶点的三角形是等腰三角形,求点E的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)由3阶“ℜ”变换定义:P(3,2)关于y轴对称的点为P'的坐标为(-3,2),再将P'(-3,2)向左平移3个单位得P3'的坐标P3'(-6,2);
(2)当y=0,3x-3=0,解得x=1,则A(1,0);当x=0,y=3x-3=-3,则B(0,-3);
由2阶“ℜ”变换定义:A(1,0)关于y轴对称的点为A'的坐标为(-1,0),再将A'(-1,0)向左平移2个单位得P3'的坐标A3'(-3,0),则C(-3,0);
设过A,B,C三点的抛物线M的解析式y=a(x+3)(x-1),
将B(0,-3)代入得a•3•(-1)=-3,解得a=1,
所以抛物线M的解析式为y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3;
(3)抛物线的对称轴为直线x=-
=-1,则D(-1,0),
而B(0,-3),
∴BD=
=
,
若DB=DE=
,如图,则E1(-1,
),E2(-1,-
),
若BD=BE,如图,则E3(-1,-6);
若ED=EB,如图,E4B=E4D,设E4(-1,t),
则t2=(-1)2+(t+3)2,解得t=-
,则E4(-1,-
),
综上所述,点E的坐标为(-1,
)、(-1,-
)、(-1,-6)、(-1,-
).
(2)当y=0,3x-3=0,解得x=1,则A(1,0);当x=0,y=3x-3=-3,则B(0,-3);
由2阶“ℜ”变换定义:A(1,0)关于y轴对称的点为A'的坐标为(-1,0),再将A'(-1,0)向左平移2个单位得P3'的坐标A3'(-3,0),则C(-3,0);
设过A,B,C三点的抛物线M的解析式y=a(x+3)(x-1),
将B(0,-3)代入得a•3•(-1)=-3,解得a=1,
所以抛物线M的解析式为y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3;
(3)抛物线的对称轴为直线x=-
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而B(0,-3),
∴BD=
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若DB=DE=
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若BD=BE,如图,则E3(-1,-6);
若ED=EB,如图,E4B=E4D,设E4(-1,t),
则t2=(-1)2+(t+3)2,解得t=-
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综上所述,点E的坐标为(-1,
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