设f(x)＝∫x+π2x|sint|dt，（Ⅰ）证明f（x）是以π为周期的周期函数；（Ⅱ）求f（x）的值域．

Question

设f(x)＝

∫	x+(π)/(2)  x

|sint|dt，
（Ⅰ）证明f（x）是以π为周期的周期函数；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）：
f(x+π)＝

∫	x+(3)/(2)π x+π

|sint|dt，
设：u=t-π，
则有：|sint|=|sin（u+π）|=|-sinu|=|sinu|，du=dt
所以，f(x+π)＝

∫	x+(1)/(2)π x

|sinu|du＝f(x)，
故：f（x）是以π为周期的周期函数．

（Ⅱ）
∵|sinx|在（-∞，+∞）上连续，
∴f（x）在（-∞，+∞）上连续．
且由（Ⅰ）可知f（x）周期为π，
故只需在[0，π]上讨论其值域，
f(x)＝

∫	x+(π)/(2)  x

|sint|dt，
f′(x)＝|sin(x+(π)/(2))|−|sinx|＝|cosx|−|sinx|，
f′(x)＝

cosx−sinx，x∈[0，(π)/(2)]

−cosx−sinx，x∈((π)/(2)，π]

，
f′(x)

≥0，x∈[0，(π)/(4)]

＜0，x∈((π)/(4)，(3π)/(4))

≥0，x∈[(3π)/(4)，π]

又有：
f(0)＝

∫

(π)/(2) 0

|sint|dt＝

∫

(π)/(2) 0

sintdt=−cost

|

(π)/(2) 0

＝0−(−1)＝1，
f((π)/(4))＝

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

|sint|dt=

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

sintdt＝−cost

|	(3π)/(4) (π)/(4)

＝(√(2))/(2)−(−(√(2))/(2))＝√(2)，
f((3π)/(4))＝

∫	(5π)/(4) (3π)/(4)

|sint|dt＝

∫	π (3π)/(4)

sintdt+

∫	(5π)/(4) π

(−sint)dt=−cost

|	π (3π)/(4)

+cost

|	(5π)/(4) π

=1−(√(2))/(2)+(−(√(2))/(2))−(−1)＝2−√(2)，
f(π)＝

∫	(3π)/(2) π

|sint|dt＝

∫	(3π)/(2) π

−sintdt＝cost

|	(3π)/(2) π

＝0−(−1)＝1，
所以，f（x）的值域为：[1，√(2)]∪[2−√(2)，1]＝[2−√(2)，√(2)]．