已知函数f（x）=axlnx+b在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，g（x）=λ（x-1）（其中λ为常数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实

Question

已知函数f（x）=axlnx+b在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，g（x）=λ（x-1）（其中λ为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）当x>1时，求证：[f（x-1）-（x-3）][f（e^x）-3（e^x-3）]≥9-e²（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

（本小题满分16分）
（1）f'（x）=a（lnx+1）Z，f'（1）=1，得a=1；又由f（1）=0，得b=0，
所以f（x）=xlnx．（3分）
（2）对任意x∈[1，+∞），不等式xlnx≥λ（x-1）恒成立；
等价于对任意x∈[1，+∞），不等式lnx≥λ(1-(1)/(x))恒成立；
令h(x)=lnx-λ(1-(1)/(x))(x≥1)，则有h（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；h′(x)=(1)/(x)-(λ)/(x2)=(x-λ)/(x2)；
若λ≤1，当x≥1时，h'（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以，当x≥1时，h（x）≥h（1）=0；
若λ>1，当1≤x<λ时，h'（x）<0，当x>λ时，h'（x）>0，
所以h（x）在[1，λ）上单调递减，在（λ，+∞）上单调递增，
所以当1<x<λ时，h（x）<h（1）=0，与题意矛盾；
综上，实数λ的取值范围为（-∞，1]．（9分）
（3）令p（x）=f（x-1）-（x-3）=（x-1）ln（x-1）-x+3，p'（x）=ln（x-1）；令p'（x）>0，解得x>2；
令p'（x）<0，解得1<x<2；∴p（x）在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增；
故当x=2时，p（x）取得最小值p（2）=1>0；q（x）=f（e^x）-3（e^x-3）=xe^x-3e^x+9，q'（x）=（x-2）•e^x，令q'（x）<0，解得1<x<2；令q'（x）>0，解得x>2；
所以q（x）在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增；
故当x=2时，f（x）取得最小值q（2）=9-e²>0；
所以，当x>1时，p(x)q(x)≥pmin(x)qmin(x)=p(2)q(2)=9-e2，
即[f（x-1）-（x-3）][f（e^x）-3（e^x-3）]≥9-e²，
当且仅当x=2时，等号成立．（16分）