如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．若△CEF与△ABC相似．（1）当AC=BC=2时，求AD的长；（2）当AC=3，BC=4时，求AD的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．若△CEF与△ABC相似．

（1）当AC=BC=2时，求AD的长；
（2）当AC=3，BC=4时，求AD的长．

Answer 1

（1）若△CEF与△ABC相似．
当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．

此时D为AB边中点，AD=(√(2))/(2)AC=√(2)；
（2）当AC=3，BC=4时，有两种情况：
a．若CE：CF=3：4，如答图2所示．

∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA=(3)/(5)．
AD=AC•cosA=3×(3)/(5)=1.8；
b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此时AD=(1)/(2)AB=(1)/(2)×5=2.5．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．