已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l1上的两个定点，C、D是直线l2上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．（1）求四

Question

已知：直线l₁与直线l₂平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l₁上的两个定点，C、D是直线l₂上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A₁BC．
（1）求四边形ABDC的面积．
（2）当A₁与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？
（3）当A₁与D不重合时
①连接A₁、D，求证：A₁D∥BC；
②若以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）²的值．

Answer 1

解（1）∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；

（2）∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A₁与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；

（3）①连结A₁D，如图，
∵△ABC沿BC折叠得到△A₁BC，
∴CA₁=CA=BD，AB=CD=A₁B，
在△A₁CD和△A₁BD中

CA1＝BD

CD＝BA1

A1D＝A1D

∴△A₁CD≌△A₁BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A₁D∥BC；
②当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S_△A1CB=S_△ABC=(1)/(2)×2×5=5，
∴S_矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA₁=BA=5，
∴a²+b²=25，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=45；
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）²=（2+5）²=49，
∴（a+b）²的值为45或49．