若A^k=o(k为正整数）求证（E-A）^(-1)=E+A+A^2+……+A^(K-1)

Question

若A^k=o(k为正整数） 求证（E-A）^(-1)=E+A+A^2+……+A^(K-1)

Answer 1

因为 A^k = 0
所以 (E-A)(E+A+A^2+……+A^(K-1))
= E+A+A^2+……+A^(K-1) - AA^2+……-A^(K-1)-A^k
= E - A^k
= E
所以 E-A 可逆,且 (E-A)^-1 = E+A+A^2+……+A^(K-1)