如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．

Question

如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，
求证：AE=2AD．

Answer 1

证明：延长AD至M，使DM=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=CD，
在△ABD和△MDC中

BD＝CD

∠ADB＝∠MDC

AD＝DM

，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC=AB，∠B=∠MCD，
∵AB=CE，
∴CM=CE，
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，
即∠ACM=∠ACE，
在△ACE和△ACM中

AC＝AC

∠ACE＝∠ACM

CM＝CE

，
∴△ACM≌△ACE（SAS）．
∴AE=AM，
∵AM=2AD，
∴AE=2AD．