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y^2=2x焦点F过焦点的直线交抛物线于AB求AF+4BF的最小值是多少
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y^2=2x 焦点F 过焦点的直线交抛物线于A B 求AF+4BF的最小值是多少
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答案和解析
y²=2x 与过焦点的直线 y=k(x-1/2) 联立,得 k²x²-(k²+2)x+ k²/4=0 由韦达定理 X1*X2= 1/4,
∣FA ∣+ 4 ∣BF ∣=(X1+ P/2) +4(X2+ P/2) =(X1+4X2)+5P/2≥ 2√(X1*4X2) +5P/2 =2+5P/2
=2+ 5/2 = 9/2 (∵P=1) .当且仅当 X1= 4X2 时, 即 X1=1, X2=1/4, 时, 取到最小值9/2 .
∣FA ∣+ 4 ∣BF ∣=(X1+ P/2) +4(X2+ P/2) =(X1+4X2)+5P/2≥ 2√(X1*4X2) +5P/2 =2+5P/2
=2+ 5/2 = 9/2 (∵P=1) .当且仅当 X1= 4X2 时, 即 X1=1, X2=1/4, 时, 取到最小值9/2 .
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