（2012•浙江模拟）已知抛物线x2=4y．（Ⅰ）过抛物线焦点F，作直线交抛物线于M，N两点，求|MN|最小值；（Ⅱ）如图，P是抛物线上的动点，过P作圆C：x2+（y+1）2=1的切线交直线y=-2于A，B两点，

Question

（2012•浙江模拟）已知抛物线x²=4y．
（Ⅰ）过抛物线焦点F，作直线交抛物线于M，N两点，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如图，P是抛物线上的动点，过P作圆C：x²+（y+1）²=1的切线交直线y=-2于A，B两点，当PB恰好切抛物线于点P时，求此时△PAB的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由题意F（0，1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），PF的方程为y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
|MN|＝y1+y2+2＝k(x1+x2)+4＝4k2+4≥4
故当k=0时，|MN|_min=4                              …（5分）
（Ⅱ）设P(a，(a2)/(4))，y＝(x2)/(4)，∴y′＝(x)/(2)
∴抛物线在点P处切线：y＝(a)/(2)(x−a)+(a2)/(4)＝(a)/(2)x−(a2)/(4)
∴圆心C到该切线距离(|1−(a2)/(4)|)/(√((a2)/(4)+1))＝1，∴a²=12
由对称性，不妨设P(2√(3)，3)…（9分）
显然过P作圆C的两条切线斜率都存在，设y−3＝k(x−2√(3))，
∴kx−y+3−2√(3)k＝0
因为相切，所以

|4−2

作业帮用户 2017-11-10 举报

问题解析

（Ⅰ）设PF的方程代入x²=4y，利用抛物线的定义，结合基本不等式，即可求得|MN|最小值；
（Ⅱ）求出抛物线在点P处切线方程，从而可求圆心C到该切线距离，由对称性，不妨设P(2√(3)，3)，设切线方程，利用直线与圆相切，可得直线的斜率，进而可求|AB|，由此可求△PAB的面积．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评：

本题考查抛物线中过焦点的弦长计算，考查抛物线的切线，正确运用抛物线的切线是关键．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议