四边形ABCD中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC,求证:(1)OC平分∠ACD,(2)求证:OA⊥OC,(3)求证:AB+CD=AC

Question

四边形ABCD中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC,求证:(1)OC平分∠ACD,(2)求证:OA⊥OC,(3)求证:AB+CD=AC

Answer 1

O点向AC做一条垂线,交于点E
（1）
∵∠B=∠AEO=90°,∠BAO=∠AEO,OA=OA
∴△BAO与△EAO是全等三角形
∴OE=OB
又∵OB=OD
∴OE=OD
又∵∠D=∠CEO=90°,OC=OC
∴△CDO与△CEO是全等三角形
∴∠OCD=∠OCE
∴OC平分∠ACD
（2）
∵△BAO与△EAO是全等三角形,△CDO与△CEO是全等三角形
∴∠DOC=∠EOC=1/2∠DOE,∠AOE=∠AOB=1/2∠BOE
∴∠AOC=∠EOC+∠AOB=1/2∠DOE+1/2∠BOE=1/2(∠DOE,+∠BOE)=1/2*180°=90°
∴:OA⊥OC
（3）
∵△BAO与△EAO是全等三角形,△CDO与△CEO是全等三角形
∴AB=AE,CD=CE
∴AB+CD=AE+CE=AC