如图，∠EAF=90°，B、D分别在射线AE和AF上，且AB=AD，过B和D分别作AE和AF的垂线交于点C，BM平分∠EBC，DN平分∠FDC，∠MAN=45°，连结MN．（1）尺规作图：作△AMN关于直线AM的轴对称图形△AMT；（2

Question

如图，∠EAF=90°，B、D分别在射线AE和AF上，且AB=AD，过B和D分别作AE和AF的垂线交于点C，BM平分∠EBC，DN平分∠FDC，∠MAN=45°，连结MN．

（1）尺规作图：作△AMN关于直线AM的轴对称图形△AMT；
（2）探究线段BM、MN、ND之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）如图1所示，
；

（2）BM²+DN²=MN²，

如图2，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，连接MP．
则△ABP≌△ADN． 
∴∠1=∠3，AP=AN，BP=DN，∠APB=∠AND．
∴∠MAP=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAP=∠MAN．
在△AMP和△AMN中，
∵

AP=AN

∠PAM=∠NAM

AM=AM

，
∴△AMF≌△AMN（SAS）．
∴MP=MN．
可得∠MBP=（∠APB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMP中，BM²+BP²=PM²．
∴BM²+DN²=MN²．