已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=3132，求λ．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1+λa_n，其中λ≠0．
（1）证明{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S₅=(31)/(32)，求λ．

Answer 1

（1）∵S_n=1+λa_n，λ≠0．
∴a_n≠0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1+λa_n-1-λa_n-1=λa_n-λa_n-1，
即（λ-1）a_n=λa_n-1，
∵λ≠0，a_n≠0．∴λ-1≠0．即λ≠1，
即(an)/(an-1)=(λ)/(λ-1)，（n≥2），
∴{a_n}是等比数列，公比q=(λ)/(λ-1)，
当n=1时，S₁=1+λa₁=a₁，
即a₁=(1)/(1-λ)，
∴a_n=(1)/(1-λ)•（(λ)/(λ-1)）^n-1．
（2）若S₅=(31)/(32)，
则若S₅=1+λ（(1)/(1-λ)•（(λ)/(λ-1)）⁴=(31)/(32)，
即（(λ)/(1-λ)）⁵=(31)/(32)-1=-(1)/(32)，
则(λ)/(1-λ)=-(1)/(2)，得λ=-1．