如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．

Answer 1

（1）如图，连接OD、CD，

∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD²+DF²=OF²，即r²+4²=（r+2）²，
解得：r=3，
∴⊙O的直径为6．