如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．（1）求证：D是AE的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若S△CEFS△

Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，(1)/(2)AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是

AE

的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若(S△CEF)/(S△OCD) =(1)/(2)，且AC=4，求CF的长．

Answer 1

证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC
∴AE⊥OD，
∴D是

AE

的中点（垂径定理）．
（2）如图，延长AD交BC于H，

则∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD．
（3）∵AO=OC，
∴S△OCD=(1)/(2)S△ACD，
∵(S△CEF)/(S△OCD)=(1)/(2)，
∴(S△CEF)/(S△ACD)=(1)/(4)，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴(S△CEF)/(S△ACD)=((CF)/(AC))2，即：(1)/(4)=((CF)/(4))2，
∴CF=2．