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(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=,CD=1(1)证明:MN∥平面PCD;(2)证明:MC⊥BD;(3)求二面角A—PB—D的余

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(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD= ,CD=1
(1)证明:MN∥平面PCD;
(2)证明:MC⊥BD;
(3)求二面角A—PB—D的余弦值。
▼优质解答
答案和解析

(1)证明:取AD中点E,连接ME,NE,
由已知M,N分别是PA,BC的中点,
∴ME∥PD,NE∥CD
又ME,NE 平面MNE,ME NE=E,
所以,平面MNE∥平面PCD,           2分
所以,MN∥平面PCD   3分
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥DA,PD⊥DC,
在矩形ABCD中,AD⊥DC,
如图,以D为坐标原点,

射线DA,DC,DP分别为
轴、 轴、
正半轴建立空间直角坐标系   
则D(0,0,0),A( ,0,0),
B( ,1,0) (0,1,0),
P(0,0, )     5分
所以 ,0, ),   6分
· =0,所以MC⊥BD         7分
(3)因为ME∥PD,所以ME⊥平面ABCD,ME⊥BD,又BD⊥MC,
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD,又CE⊥PD,所以CE⊥平面PBD,      
由已知 ,所以平面PBD的法向量
M为等腰直角三角形PAD斜边中点,所以DM⊥PA,
又CD⊥平面PAD,AB∥CD,所以AB⊥平面PAD,AB⊥DM,
所以DM⊥平面PAB,         
所以平面PAB的法向量 (- ,0, )      9分
设二面角A—PB—D的平面角为θ,
.
所以,二面角A—PB—D的余弦值为 .             12分