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(2014•建邺区一模)如图,在△ABC中,AB=AC=42,BC=8.⊙A的半径为2,动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动,以点P为圆心,以PB为半径作⊙P,设点P运动的时间为t秒.(1)当
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/359b033b5bb5c9ea49b7ce52d639b6003af3b33f.jpg)
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(1)当⊙P与直线AC相切时,求t的值;
(2)当⊙P与⊙A相切时,求t的值;
(3)延长BA交⊙A于点D,连接AP交⊙A于点E,连接DE并延长交BC于点F.当△ABP与△FBD相似时,求t的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,过点P作PK⊥AC,垂足为点K,
∵⊙P与直线AC相切,
∴BP=PK=t.
∵AB=AC=4
,BC=8,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠C=45°,
∴△PKC是等腰直角三角形.
∴PC=
PK=
t,
∴t+
t=8.
解得t=8
-8;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3b87e950352ac65c7541abc2f8f2b21193138a3f.jpg)
(2)如图2,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,则AP2=AM2+PM2,
AM=
BC=4,PM=t-4或4-t,
若⊙P与⊙A外切,则(t+2)2=42+(t-4)2,
解得t=
.
若⊙P与⊙A内切,则(t-2)2=42+(t-4)2,
解得t=7.
综上所述,当t=
或t=7时,⊙P与⊙A相切.
(3)当△ABP∽△FBD时,∠D=∠BPA,
∵∠D=∠AED=∠FEP,
∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA.
∴∠BFD=2∠D.
∵∠D+∠B+∠BFD=180°,
∴∠D=45°,
∴∠BAP=90°.
∴AP与AC重合,
∴t=8.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a878b29cdabc55c10385343b53f.jpg)
∵⊙P与直线AC相切,
∴BP=PK=t.
∵AB=AC=4
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∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠C=45°,
∴△PKC是等腰直角三角形.
∴PC=
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∴t+
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解得t=8
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3b87e950352ac65c7541abc2f8f2b21193138a3f.jpg)
(2)如图2,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,则AP2=AM2+PM2,
AM=
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若⊙P与⊙A外切,则(t+2)2=42+(t-4)2,
解得t=
7 |
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若⊙P与⊙A内切,则(t-2)2=42+(t-4)2,
解得t=7.
综上所述,当t=
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(3)当△ABP∽△FBD时,∠D=∠BPA,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21bb051f819861827eb223549ed2e738ad4e6d7.jpg)
∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA.
∴∠BFD=2∠D.
∵∠D+∠B+∠BFD=180°,
∴∠D=45°,
∴∠BAP=90°.
∴AP与AC重合,
∴t=8.
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