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已知函数fx=2ax+1/x+(2-a)Inx(a∈R)已知函数f(x)=2ax+1/x+(2-a)Inx(a∈R)(1)当a=-1时,求f(x)的极值(2)当-3<a<-2时,若存在x1,x2∈1,3,使得If(x1)-f(x2)I>(m+In3)a-2In3成立,求实
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已知函数fx=2ax+1/x+(2-a)Inx(a∈R)
已知函数f(x)=2ax+1/x+(2-a)Inx(a∈R)
(1)当a=-1时,求f(x)的极值
(2)当-3<a<-2时,若存在x1,x2∈【1,3】,使得If(x1)-f(x2)I>(m+In3)a-2In3成立,求实数m的取值范围
已知函数f(x)=2ax+1/x+(2-a)Inx(a∈R)
(1)当a=-1时,求f(x)的极值
(2)当-3<a<-2时,若存在x1,x2∈【1,3】,使得If(x1)-f(x2)I>(m+In3)a-2In3成立,求实数m的取值范围
▼优质解答
答案和解析
(1) 函数定义域为 x>0
a= -1时,f(x)= -2x+1/x+3Inx,
f '(x)= -2-1/x²+3/x
=(-2x²+3x-1)/x
= -(x-1)(2x-1)/x
所以,当 x∈(0,1/2) 或(1,+∞)时, f ‘(x)<0, f(x)分别单调减;
当 x∈(1/2,1) 时, f ’(x)>0, f(x)单调增.
所以,x=1/2 时,函数有极小值 f(1/2)=1-3In2;
x=1 时,函数有极大值 f(1)= -1.
(2) f '(x)=2a-1/x²+(2-a)/x
=[2ax²+(2-a)x-1]/x
=(ax+1)(2x-1)/x
令 f '(x)=0,得 x= -1/a 或 x=1/2,
因为 -3<a<-2,所以, 1/3<-1/a<1/2,
所以,当x∈[1,3] 时, f ‘(x)<0, f(x)单调减,
If(x1)-f(x2)I≦f(1)-f(3)=2a+1-6a-1/3 -(2-a)In3
= -4a+2/3-(2-a)In3
由题意,-4a+2/3-(2-a)In3>(m+In3)a-2In3
化简得 -4a+2/3>ma
因为 a<0,
所以 m>-4+2/(3a),
由 -3<a<-2 得 -1/3<2/(3a)<-2/9,
所以, m>-4-2/9
即 m>-38/9
a= -1时,f(x)= -2x+1/x+3Inx,
f '(x)= -2-1/x²+3/x
=(-2x²+3x-1)/x
= -(x-1)(2x-1)/x
所以,当 x∈(0,1/2) 或(1,+∞)时, f ‘(x)<0, f(x)分别单调减;
当 x∈(1/2,1) 时, f ’(x)>0, f(x)单调增.
所以,x=1/2 时,函数有极小值 f(1/2)=1-3In2;
x=1 时,函数有极大值 f(1)= -1.
(2) f '(x)=2a-1/x²+(2-a)/x
=[2ax²+(2-a)x-1]/x
=(ax+1)(2x-1)/x
令 f '(x)=0,得 x= -1/a 或 x=1/2,
因为 -3<a<-2,所以, 1/3<-1/a<1/2,
所以,当x∈[1,3] 时, f ‘(x)<0, f(x)单调减,
If(x1)-f(x2)I≦f(1)-f(3)=2a+1-6a-1/3 -(2-a)In3
= -4a+2/3-(2-a)In3
由题意,-4a+2/3-(2-a)In3>(m+In3)a-2In3
化简得 -4a+2/3>ma
因为 a<0,
所以 m>-4+2/(3a),
由 -3<a<-2 得 -1/3<2/(3a)<-2/9,
所以, m>-4-2/9
即 m>-38/9
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