已知点（5π12，2）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜π2）的图象上，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（1）求函数f（x）的单递增区间和其图象

Question

已知点（(5π)/(12)，2）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜(π)/(2)）的图象上，直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为(π)/(2)．
（1）求函数f（x）的单递增区间和其图象的对称中心坐标；
（2）设A={x|(π)/(4)≤x≤(π)/(2)}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵|x₁-x₂|的最小值为(π)/(2)，
∴周期T=π=(2π)/(ω)⇒ω=2，
又图象经过点（(5π)/(12)，2），
∴2sin（2×(5π)/(6)+φ）=2⇒φ=2kπ-(π)/(3)，k∈Z．
∵|φ|＜(π)/(2)∴φ=−(π)/(3)．
∴f（x）=2sin（2x−(π)/(3)）．…3分．
-(π)/(2)+2kπ≤2x−(π)/(3)≤(π)/(2)+2kπ，k∈Z
解得[-(π)/(12)+kπ，(5π)/(12)+kπ]，k∈Z为此函数的单调递增区间．    …5分
对称中心为点（(π)/(6)+(1)/(2)kπ，0），k∈Z．            …7分
（2）∵A⊆B，
∴当(π)/(4)≤x≤(π)/(2)时|f（x）-m|＜1恒成立
即m-1＜f（x）＜m+1恒成立
即

f(x)max＜1+m

f(x)min＞m−1

，
∵f（x）∈[1，2]，
∴

2＜1+m

1＞m−1

⇔1＜m＜2． …14分．