已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上的一点,且PF1垂直于PF2,(PF1)*(PF2)=4ab,则双曲线的离心率是∵PF1⊥PF2∴|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2即：|PF1|^2+|PF2|^2=(2c)^2=4c

Question

已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上的一点,且PF1垂直于PF2,(PF1)*(PF2)=4ab,则双曲线的离心率是_________
∵PF1⊥PF2
∴|PF1|^2 + |PF2|^2 = |F1F2|^2
即：|PF1|^2 + |PF2|^2 = (2c)^2=4c^2……(1)
P是双曲线上的一点,则由双曲线的定义得：|PF1| - |PF2|=2a
两边平方：|PF1|^2 + |PF2|^2 - 2|PF1|*|PF2| = 4a^2……(2)
已知|PF1|*|PF2|=4ab……(3)
由(1)(2)(3)式,得：4c^2 - 8ab = 4a^2
4(c^2 - 2ab - a^2)=0
∴c^2 - a^2 - 2ab=0
∵在双曲线中：c^2=a^2 + b^2
∴b^2 - 2ab=0
b(b-2a)=0
∵b>0
∴b=2a
则：c^2=5a^2
双曲线的离心率e=c/a =(√5a)/a =√5
这是2007浙江数学卷的第9题,答案是√3,谁能说一下上述方法为什么错!

Answer 1

你的推导没错,但应注意双曲线的定义：平面内到两给定点的距离之差的绝对值为常数,则应有 |PF1- PF2|=2a ,而不是|PF1| - |PF2|=2a ,这对结果并无影响.我查了一下原题是P为准线上一点,而不是双曲线上一点,估计你题目看错了吧