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已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna. …(2分)
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,…(5分)
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分)
(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,
故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.…(7分)
所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.
所以fmin=f(0)=1,fmax=max{f(-1),f(1)}.…(9分)
f(-1)=
+1+lna,f(1)=a+1-lna,
f(1)-f(-1)=a-
-2lna,
记g(x)=x-
-2lnx,则g′(x)=1+
−
=(
−1)2,(当x=1时取到等号),所以g(x)=x-
-2lnx递增,
故f(1)-f(-1)=a-
-2lna>0 …(11分)
所以f(1)>f(-1),于是fmax=f(1)=a+1-lna.(12分)
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna,所以a-lna≤e-1,所以1<a≤e.…(14分)
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,…(5分)
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分)
(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,
故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.…(7分)
所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.
所以fmin=f(0)=1,fmax=max{f(-1),f(1)}.…(9分)
f(-1)=
1 |
a |
f(1)-f(-1)=a-
1 |
a |
记g(x)=x-
1 |
x |
1 |
x2 |
2 |
x |
1 |
x |
1 |
x |
故f(1)-f(-1)=a-
1 |
a |
所以f(1)>f(-1),于是fmax=f(1)=a+1-lna.(12分)
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna,所以a-lna≤e-1,所以1<a≤e.…(14分)
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