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如图,∠MON=90°,AP平分∠MAB,BP平分∠ABN.(1)求∠P的度数;(2)若∠MON=80°,其余条件不变,求∠P的度数;(3)经过(1)、(2)的计算,猜想并证明∠MON与∠P的关系.
题目详情
如图,∠MON=90°,AP平分∠MAB,BP平分∠ABN.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fda15c35a70a24ab18972b3728.jpg)
(1)求∠P的度数;
(2)若∠MON=80°,其余条件不变,求∠P的度数;
(3)经过(1)、(2)的计算,猜想并证明∠MON与∠P的关系.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fda15c35a70a24ab18972b3728.jpg)
(1)求∠P的度数;
(2)若∠MON=80°,其余条件不变,求∠P的度数;
(3)经过(1)、(2)的计算,猜想并证明∠MON与∠P的关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=(∠AOB+∠ABO+∠BAO)+∠AOB=180°+90°=270°
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
∠BAM,∠ABP=
∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=
(∠BAM+∠ABN)=135°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-135°=45°;
(2)∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=(∠AOB+∠ABO+∠BAO)+∠AOB=180°+80°=260°
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
∠BAM,∠ABP=
∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=
(∠BAM+∠ABN)=130°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-130°=50°;
(3)∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠MON+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=(∠MON+∠ABO+∠BAO)+∠MON=180°+∠MON
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
∠BAM,∠ABP=
∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=
(∠BAM+∠ABN)=
(180°+∠MON)
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
(180°+∠MON)+∠P=180°
∴∠MON+2∠P=180°.
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=(∠AOB+∠ABO+∠BAO)+∠AOB=180°+90°=270°
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠BAP+∠ABP=
1 |
2 |
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-135°=45°;
(2)∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=(∠AOB+∠ABO+∠BAO)+∠AOB=180°+80°=260°
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠BAP+∠ABP=
1 |
2 |
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-130°=50°;
(3)∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠MON+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=(∠MON+∠ABO+∠BAO)+∠MON=180°+∠MON
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=
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∴∠BAP+∠ABP=
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在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
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∴∠MON+2∠P=180°.
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