已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*，又2a2，a3，a2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=2an-λ（log2an+1）2，若数列{bn}为递增数

Question

已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足S_n+1=qS_n+1，其中q>0，n∈N^*，又2a₂，a₃，a₂+2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2a_n-λ（log₂a_n+1）²，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

（I）∵S_n+1=qS_n+1，∴当n≥2时，S_n=qS_n-1+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=qS_n-qS_n-1=qa_n，
又S₂=qS₁+1，a₁=S₁=1，
∴a₂=q=qa₁，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为1的等比数列，
∵2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，
∴2a₃=2a₂+a₂+2=3a₂+2，
即2q²=3q+2，解得q=2或q=-(1)/(2)（舍）．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=2ⁿ-λn²，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ⁺¹-λ（n+1）²-2ⁿ+λn²=2ⁿ-2nλ-λ，
∵数列{b_n}为递增数列，
∴2ⁿ-2nλ-λ>0恒成立，即λ<(2n)/(2n+1)恒成立，
令c_n=(2n)/(2n+1)，则c_n+1-c_n=(2n+1)/(2n+3)-(2n)/(2n+1)=2ⁿ（(2)/(2n+3)-(1)/(2n+1)）=2ⁿ(2n-1)/((2n+3)(2n+1))>0，
∴{c_n}是递增数列，
∴c_n≥c₁=(2)/(3)，
∴λ<(2)/(3)．