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x2+y2-xy=1,求u=x2-y2的最大值和最小值
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x2+y2-xy=1,求u=x2-y2的最大值和最小值
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答案和解析
作代换：x=a+b,y=a-b,则条件 x²+y²-xy=1可化为
(a+b)²+(a-b)²+(a+b)(a-b)=1
即 3a²+b²=1
u=x²-y²=(a+b)²-(a-b)²=4ab
因为 |√3ab|=|√3a||b|≤[(√3a)²+b²]/2=1/2
所以 -1/2≤√3ab≤1/2
-2√3/3≤ 4ab≤2√3/3
即 u的最小值为-2√3/3,最大值为 2√3/3
(a+b)²+(a-b)²+(a+b)(a-b)=1
即 3a²+b²=1
u=x²-y²=(a+b)²-(a-b)²=4ab
因为 |√3ab|=|√3a||b|≤[(√3a)²+b²]/2=1/2
所以 -1/2≤√3ab≤1/2
-2√3/3≤ 4ab≤2√3/3
即 u的最小值为-2√3/3,最大值为 2√3/3
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