如图，C为O上的一点，P为直径AB延长线上的一点，BH⊥CP于H交O于D，∠PBH=2∠PAC．（1）求证：PC是O的切线；（2）若sin∠P=23，求BHBD的值．

Question

如图，C为 O上的一点，P为直径AB延长线上的一点，BH⊥CP于H交 O于D，∠PBH=2∠PAC．

（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若sin∠P=(2)/(3)，求(BH)/(BD)的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC，
∵∠PBH=2∠PAC，
∴∠COP=∠OBH，
∴OC∥BH，
∵BH⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴PC是 O的切线；
（2） 设 O的半径为2a，
在Rt△OCP中，sin∠P=(2)/(3)，OC⊥CP，
∴OP=3a，
∴PB=OP-OB=a，
作OG⊥DH，
则BG=(1)/(2)BD，△OBG∽△PBH，
∴(BH)/(BG)=(BP)/(OB)=(1)/(2)，
∴(BH)/(BD)=(1)/(4)．