如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．以AB为直径的半⊙O分别与AC、CD相交于点E、F，连接AF、EF．（1）求证：∠AFE=∠ACD；（2）若CE=4，CB=45，tan∠CAB=43，求FD的长．

Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．以AB为直径的半⊙O分别与
AC、CD相交于点E、F，连接AF、EF．

（1）求证：∠AFE=∠ACD；
（2）若CE=4，CB=4√(5)，tan∠CAB=(4)/(3)，求FD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CAD+ABE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD；

（2）连接OF，
∵∠BEC=90°，
∴BE=√(CB2-CE2)=8，
∵tan∠CAB=(4)/(3)，
∴sin∠CAB=(4)/(5)，
∵AC=AE+CE=10，
∴CD=8，
∴AD=6，
∵OD=AD-OA=1，
∴OF=5，
∴DF=√(OF2-OD2)=2√(6)．