如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=．

Question

如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，

（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___．

Answer 1

（1）如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
（2）连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案为30°．