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如图,直线l1:y=2x+3与y轴交于点B,直线l2交y轴于点A(0,-1),且直线l1与直线l2交于点P(-1,t).(1)求直线l2的函数表达式;(2)过动点D(a,0)作x轴的垂线与直线l1,l2分别交于M,N两
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如图,直线l1:y=2x+3与y轴交于点B,直线l2交y轴于点A(0,-1),且直线l1与直线l2交于点P(-1,t).
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(1)求直线l2的函数表达式;
(2)过动点D(a,0)作x轴的垂线与直线l1,l2分别交于M,N两点,且MN≤2.
①求a的取值范围;
②若S△APM=
S△AMB,求MN的长度.
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(1)求直线l2的函数表达式;
(2)过动点D(a,0)作x轴的垂线与直线l1,l2分别交于M,N两点,且MN≤2.
①求a的取值范围;
②若S△APM=
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵点P(-1,t)在直线直线l1上,
∴t=2×(-1)+3=1,即P(-1,1),
设直线l2解析式为y=kx+b,
把A、P的坐标代入可得
,解得
,
∴直线l2的函数表达式为y=-x-1;
(2)①∵MN∥y轴,
∴M、N的横坐标为a,
设M、N的纵坐标分别为ym和yn,
∴ym=2a+3,yn=-a-1,
当MN在点P左侧时,此时a<-1,
则有MN=yn-ym=-a-1-(2a+3)=-3a-4,
∵MN≤2,
∴-3a-4≤2,解得a≥-2,
∴此时-2≤a<-1;
当MN在点P的右侧时,此时a>-1,
则有MN=ym-yn=2a+3-(-a-1)=3a+4,
∵MN≤2,
∴3a+4≤2,解得a≤-
,
∴此时-1<a<-
;
综上可知当-2≤a<-1或-1<a<-
时,MN≤2;
②由题意可知B(0,3),且A(0,-1),
∴AB=4,
∵P(-1,1),
∴S△APB=
×4×1=2,
由题意可知点M只能在y轴的右侧,
当点M在线段AP上时,过点M作MC⊥y轴于点C,如图1
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∵S△APM=
S△AMB,
∴S△ABM=
S△APB=
,
∴
AB•MC=
,即2MC=
,解得MC=
,
∴点M的横坐标为-
,即a=-
,
∴MN=3a+4=-2+4=2;
当点M在线段BP的延长线上时,过点M作MD⊥y轴于点D,如图2,
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∵S△APM=
S△AMB,
∴S△ABM=2S△APB=4,
∴
AB•MC=4,即2MC=4,解得MC=2,
∴点M的横坐标为-2,
∴MN=-3a-4=6-4=2,
综上可知MN的长度为2.
(1)∵点P(-1,t)在直线直线l1上,
∴t=2×(-1)+3=1,即P(-1,1),
设直线l2解析式为y=kx+b,
把A、P的坐标代入可得
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∴直线l2的函数表达式为y=-x-1;
(2)①∵MN∥y轴,
∴M、N的横坐标为a,
设M、N的纵坐标分别为ym和yn,
∴ym=2a+3,yn=-a-1,
当MN在点P左侧时,此时a<-1,
则有MN=yn-ym=-a-1-(2a+3)=-3a-4,
∵MN≤2,
∴-3a-4≤2,解得a≥-2,
∴此时-2≤a<-1;
当MN在点P的右侧时,此时a>-1,
则有MN=ym-yn=2a+3-(-a-1)=3a+4,
∵MN≤2,
∴3a+4≤2,解得a≤-
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∴此时-1<a<-
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综上可知当-2≤a<-1或-1<a<-
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②由题意可知B(0,3),且A(0,-1),
∴AB=4,
∵P(-1,1),
∴S△APB=
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由题意可知点M只能在y轴的右侧,
当点M在线段AP上时,过点M作MC⊥y轴于点C,如图1
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∵S△APM=
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∴S△ABM=
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∴点M的横坐标为-
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∴MN=3a+4=-2+4=2;
当点M在线段BP的延长线上时,过点M作MD⊥y轴于点D,如图2,
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∵S△APM=
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∴S△ABM=2S△APB=4,
∴
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∴点M的横坐标为-2,
∴MN=-3a-4=6-4=2,
综上可知MN的长度为2.
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