如图，直线l1：y=2x+3与y轴交于点B，直线l2交y轴于点A（0，-1），且直线l1与直线l2交于点P（-1，t）．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过动点D（a，0）作x轴的垂线与直线l1，l2分别交于M，N两

Question

如图，直线l₁：y=2x+3与y轴交于点B，直线l₂交y轴于点A（0，-1），且直线l₁与直线l₂交于点P（-1，t）．

（1）求直线l₂的函数表达式；
（2）过动点D（a，0）作x轴的垂线与直线l₁，l₂分别交于M，N两点，且MN≤2．
①求a的取值范围；
②若S_△APM=(1)/(2)S△AMB，求MN的长度．

Answer 1

（1）∵点P（-1，t）在直线直线l₁上，
∴t=2×（-1）+3=1，即P（-1，1），
设直线l₂解析式为y=kx+b，
把A、P的坐标代入可得

-k+b=0

b=-1

，解得

k=-1

b=-1

，
∴直线l₂的函数表达式为y=-x-1；
（2）①∵MN∥y轴，
∴M、N的横坐标为a，
设M、N的纵坐标分别为y_m和y_n，
∴y_m=2a+3，y_n=-a-1，
当MN在点P左侧时，此时a<-1，
则有MN=y_n-y_m=-a-1-（2a+3）=-3a-4，
∵MN≤2，
∴-3a-4≤2，解得a≥-2，
∴此时-2≤a<-1；
当MN在点P的右侧时，此时a>-1，
则有MN=y_m-y_n=2a+3-（-a-1）=3a+4，
∵MN≤2，
∴3a+4≤2，解得a≤-(2)/(3)，
∴此时-1<a<-(2)/(3)；
综上可知当-2≤a<-1或-1<a<-(2)/(3)时，MN≤2；
②由题意可知B（0，3），且A（0，-1），
∴AB=4，
∵P（-1，1），
∴S_△APB=(1)/(2)×4×1=2，
由题意可知点M只能在y轴的右侧，
当点M在线段AP上时，过点M作MC⊥y轴于点C，如图1

∵S_△APM=(1)/(2)S△AMB，
∴S_△ABM=(2)/(3)S_△APB=(4)/(3)，
∴(1)/(2)AB•MC=(4)/(3)，即2MC=(4)/(3)，解得MC=(2)/(3)，
∴点M的横坐标为-(2)/(3)，即a=-(2)/(3)，
∴MN=3a+4=-2+4=2；
当点M在线段BP的延长线上时，过点M作MD⊥y轴于点D，如图2，

∵S_△APM=(1)/(2)S△AMB，
∴S_△ABM=2S_△APB=4，
∴(1)/(2)AB•MC=4，即2MC=4，解得MC=2，
∴点M的横坐标为-2，
∴MN=-3a-4=6-4=2，
综上可知MN的长度为2．