已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足，求|MN|的最小值．

Question

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足，求|MN|的最小值．____

Answer 1

【分析】(1)依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=(1-y₁)，x₂=(1-y₂)，代入上式得到：4y₁y₂-3(y₁+y₂)+3=0．由此可求出椭圆Γ的方程．
(2)由题意知M、N是椭圆+y²=1上的两点，且OM⊥ON，故设M(r₁cosθ，r₁sinθ)，N(-r₂sinθ，r₂cosθ)，由题设条件能够推出|MN|的最小值为．

(1)依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，
而x₁=(1-y₁)，x₂=(1-y₂)，代入上式得到：
4y₁y₂-3(y₁+y₂)+3=0①
由|AB|=2知：y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁>y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：或，
∴A(，)，B(-，)或A(，0)，B(0，1)，
又A(，)，B(-，)不合题意，舍去．
∴A(，0)，B(0，1)，
故所求椭圆Γ的方程为+y²=1．
(2)由题意知M、N是椭圆+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M(r₁cosθ，r₁sinθ)，N(-r₂sinθ，r₂cosθ)，
于是r₁²(+sin²θ)=1，r₂²(+cos²θ)=1，
又(r₁²+r₂²)(+)=2++≥4，
从而|MN|²•≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值为．

【点评】本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．