设a1,a2.an均为实数,二次型f(x1,x2,.xn)=(x1+a1x2)^2+(x2+a2x3)^2+...+(xn-1+an-1xn)^2+(xn+anx1)^2求该二次型正定的条件

Question

设a1,a2.an 均为实数,
二次型f(x1,x2,.xn)=(x1+a1x2)^2+(x2+a2x3)^2+...+(xn-1+an-1xn)^2+(xn+anx1)^2求该二次型正定的条件

Answer 1

如果二次型f不正定
则说明f至少可以找到一组不全为0的x1,x2,...,xn使f为0
那么x1,x2,...,xn应满足
x1+a1x2=0
...
xn+anx1=0

x1=-a1x2=a1a2x3=-a1a2a3x4=...=(-1)^na1a2...anx1
那么a1a2...an=(-1)^n

所以要让二次型正定,只需保证a1a2...an不等于-1即可