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如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为棱A1B上的动点.(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点C1到面PAC的距
题目详情
如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为棱A1B上的动点.
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点C1到面PAC的距离.
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点C1到面PAC的距离.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,过A点与AB垂直的直线为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,
设P(x,0,z),则B(a,0,0)、A1(0,0,a)、得,
即,∴,即P为A1B的中点,
也即A1P:PB=1时,PC⊥AB.…4′
(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,P点的坐标是.取.
则,.
∴是平面PAC的一个法向量.
又平面ABC的一个法向量为.
∴,∴二面角P-AC-B的大小是60°.…8′
(Ⅲ)设C1到面PAC的距离为d,则,∴C1到面PAC的距离为.…12′
设P(x,0,z),则B(a,0,0)、A1(0,0,a)、得,
即,∴,即P为A1B的中点,
也即A1P:PB=1时,PC⊥AB.…4′
(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,P点的坐标是.取.
则,.
∴是平面PAC的一个法向量.
又平面ABC的一个法向量为.
∴,∴二面角P-AC-B的大小是60°.…8′
(Ⅲ)设C1到面PAC的距离为d,则,∴C1到面PAC的距离为.…12′
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