已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．（1）求证：BE=CE；（2）当△AEF是以为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；（3）作∠FEG=120°，交

Question

已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）当△AEF是以___为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG=120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．

Answer 1

（1）∵AD是等边△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
（2）∵AD是等边△ABC的高，
∴∠CAD=(1)/(2)∠BAC=30°，
∴△AEF为等腰三角形，
∴腰为AE或AF，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=75°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=∠AFE-∠ACB=75°-60°=15°，
∵BE=CE，
∴∠ECD=∠CBF=15°，
故答案为AE或AF
（3）EF=EG，
理由：∵∠BAC=60°，∠FEG=120°，
∴∠BAC+∠FEG=180°，
∴∠AGE+∠AFE=180°，
∴∠AFE=BGE，
过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴EN=EM；
在△ENG和△EMF中，

∠EGN=∠EFM

∠ENG=∠EMF=90°

EN=EM

，
∴△ENG≌△EMF，
∴EG=EF