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(2014•义乌市)等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.(1)若AE=CF;①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;②若AE=2,试求AP•AF的值;(2)若AF=BE,当点E从点A
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(1)若AE=CF;
①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求AP•AF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
▼优质解答
答案和解析
(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°-∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴
=
,即
=
,所以AP•AF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fd74fe62970a24ab18962b37dd.jpg)
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=2
,
点P的路径是l=
=
=
π.
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径的长度为:
=3
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
|
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°-∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴
AP |
AC |
AE |
AF |
AP |
6 |
2 |
AF |
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fd74fe62970a24ab18962b37dd.jpg)
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=2
3 |
点P的路径是l=
nπr |
180 |
120π•2
| ||
180 |
4
| ||
3 |
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径的长度为:
62−32 |
作业帮用户
2017-09-24
|
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