设直线l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x-1）2+y2=r2（r>0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2=．

Question

设直线l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x-1）²+y²=r²（r>0）交于A，B两点，C为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr²=___．

Answer 1

直线l：（m-1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R），
直线l的方程可化为：（-x+y）+m（x+2y+3）=0，
可得

y=x

x+2y+3=0

，
直线恒过：（-1，-1）．
圆（x-1）²+y²=r²（r>0）的圆心（1，0），半径为：r．
圆心C到直线l的距离为：d=(|m-1+3m|)/(√((m-1)2+(2m+1)2))=(|4m-1|)/(√(5m2+2m+2))；
所以三角形ABC的面积为S_△ABC=(1)/(2)•|AB|•d≤(1)/(2)r²，(1)/(2)r2=4，
解得r=2√(2)，此时d=(√(2))/(2)r=2．
所以(|4m-1|)/(√(5m2+2m+2))=2，
解得m=-(1)/(2)或m=-(7)/(2)
所以，mr²=-4或-14．
故答案为：-4或-14．