如图，等边△ABC和等边△BDE有公共顶点B，∠CBE=α（60°＜α≤180°），连结CE，M、N、P、Q分别是AB、BD、CE、CB的中点，连结MN、NP、PM、PQ、MQ．（1）∠MQP的度数用α的代数式表示为；（2）

Question

如图，等边△ABC和等边△BDE有公共顶点B，∠CBE=α（60°＜α≤180°），连结CE，M、N、P、Q分别是AB、BD、CE、CB的中点，连结MN、N P、PM、PQ、MQ．
（1）∠MQP的度数用α的代数式表示为______；
（2）求证：△MNB≌△MPQ；
（3）猜想△MNP的形状，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=∠ACB=∠A=60°，AB=BC=AC，BD=DE=BE．
∵M、N、P、Q分别是AB、BD、CE、CB的中点，
∴PQ是△BCE的中位线，MQ是△ABC的中位线，BM=(1)/(2)AB，BN=(1)/(2)BD，
∴PQ∥BE，PQ=(1)/(2)BE，MQ∥AC，MQ=(1)/(2)AC，
∴MQ=MB，PQ=NB，∠MQB=∠ACB=60°，∠QMB=∠A=60°，∠PQB+∠CBE=180°．
∵∠CBE=α，
∴∠PQB=180°-α．
∴∠PQM=180°-α+60°=240°-α．
故答案为：240°-α；
（2）∵∠ABC+∠CBE+∠DBE+∠MBN=360°，
∴∠MBN=240°-α，
∴∠MBN=∠MQP．
在△MNB和△MPQ中，

NB＝PQ

∠MBN＝∠MQP

MB＝MQ

，
∴△MNB≌△MPQ（SAS）；
（3）△MNP是等边三角形．
理由：∵△MNB≌△MPQ，
∴MN=MP，∠NMB=∠QMP．
∴∠PMB+∠PNQ=∠PMB+∠BMN，
∴∠QMB=∠PMN=60°．
∴△MNP为等边三角形．