1、求积分∫1/根号下（1+e^2x）dx=?2、求积分∫(cosx)^2/(sin2x)^2+2(cos2x)^2dx=?

Question

1、求积分∫1/根号下（1+e^2x）dx=?2、求积分∫(cosx)^2/(sin2x)^2+2(cos2x)^2dx=?

Answer 1

第一题：
令e^（2x）＝y,则：2x＝lny,∴x＝（1/2）lny,∴dx＝［1/（2y）］dy.
∴原式＝∫｛［1/√（1＋y）］［1/（2y）］｝dy＝（1/2）∫｛1/［y√（1＋y）］｝dy.
再令√（1＋y）＝z,则：y＝z^2－1,∴dy＝2zdz.
∴原式＝∫｛z/［（z^2－1）z］｝dz＝∫［1/（z^2－1）］dz
＝（1/2）∫［1/（z－1）］－［1/（z＋1）］dz
＝（1/2）∫［1/（z－1）］d（z－1）－（1/2）∫［1/（z＋1）］d（z＋1）
＝（1/2）ln（z－1）－（1/2）ln（z＋1）＋C
＝（1/2）ln［√（1＋y）－1］－（1/2）ln［√（1＋y）＋1］＋C
＝（1/2）ln｛√［1＋e^（2x）］－1｝－（1/2）ln｛√［1＋e^（2x）］＋1｝＋C
第二题：
原式＝（1/2）∫｛（cosx）^2/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛［2（cosx）^2－1＋1］/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛（cos2x＋1）/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛［cos2x/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
　　＋（1/4）∫｛1/［（2－（sin2x）^2］｝d（2x）
＝（1/4）∫｛1/［2－（sin2x）^2］｝dsin2x＋（1/2）∫｛1/［（1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）∫［1/（√2＋sin2x）］dsin2x＋（√2/16）∫［1/（√2－sin2x）］dsin2x
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）∫［1/（√2＋sin2x）］d（√2＋sin2x）
　－（√2/16）∫［1/（√2－sin2x）］d（√2－sin2x）
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx
＝（√2/16）［ln（√2＋sin2x）－ln（√2－sin2x）］
　＋（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx
∵｛（1/√2）arctan［（1/√2）tan2x］｝′
＝（1/√2）｛1/［1＋（1/2）（tan2x）^2］｝［（1/√2）tan2x］｝′
＝｛1/［2＋（tan2x）^2］｝［1/（cos2x）^2］（2x）′
＝2/［2（cos2x）^2＋（sin2x）^2］
＝2/［1＋（cos2x）^2］
∴∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx＝（1/2）（1/√2）arctan［（1/√2）tan2x］＋C
＝（√2/4）arctan［（1/√2）tan2x］＋C
∴（1/2）∫｛1/［1＋（cos2x）^2］｝dx＝（√2/8）arctan［（1/√2）tan2x］＋C
∴原式＝（√2/16）［ln（√2＋sin2x）－ln（√2－sin2x）］＋（√2/8）arctan［（1/√2）tan2x］＋C