已知f（x）=mx-alnx-m，g（x）=exex（e=2.71828…），其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0

Question

已知f（x）=mx-alnx-m，g（x）=(ex)/(ex)（e=2.71828…），其中m，a均为实数．
（1）求g（x）的极值；
（2）设a=2，若对∀给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁，t₂（t₁≠t₂）使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵g（x）=(ex)/(ex)，
∴g′（x）=(-e(x-1))/(ex)，
当g′（x）>0时，解得x<1，当g′（x）<0时，解得x>1，
∴g（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；
（2）由（1）得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，e]单调递减，g（x）_max=g（1）=1
所以，g（x）∈（0，1]，
又f′（x）=m-(2)/(x)，
当m≤0时f′（x）<0，f（x）在（0，e]上单调递减，不符合题意．
当m>0时，要∃t₁，t₂使得f（t₁）=f（t₂），
那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即0<(2)/(m)<e
得m>(2)/(e)，且函数f（x）在（0，(2)/(m)）上单调递减，在（(2)/(m)，e]上单调递增，
由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在(0，(2)/(m))和((2)/(m)，e)上的值域，
∴((2)/(m)，e)内，

f((2)/(m))≤0

f(e)≥1

⇒m≥(3)/(e-1)．