∫∫∫(Ω)xyzdv其中Ω={(x,y,z)│x^2+y^2≤1,0≤z≤1,x≥0,y≥0}用柱面坐标法解答案是：1/16

Question

∫∫∫(Ω)xyzdv 其中Ω={(x,y,z)│x^2+y^2≤1, 0≤z≤1, x≥0,y≥0}
用柱面坐标法解
答案是：1/16

Answer 1

∫∫∫(Ω)xyzdv
=∫∫∫(Ω) rcosθrsinθrz dv
=∫[0→π/2]∫[0→1]∫[0→1] r³cosθsinθz dzdrdθ
=∫[0→π/2] cosθsinθ dθ∫[0→1] r³ dr∫[0→1] z dz
三个积分各算各的就行了
∫[0→π/2] cosθsinθ dθ=∫[0→π/2] sinθ dsinθ=(1/2)sin²θ |[0→π/2]=1/2
∫[0→1] r³ dr=(1/4)r^4 |[0→1] =1/4
∫[0→1] z dz=(1/2)z² |[0→1] =1/2
因此最终结果是三个相乘：1/16
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