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如图,在平面直角坐标系中,已知点C(0,4),点A、B在x轴上,并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的函数表达式;(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等
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如图,在平面直角坐标系中,已知点C(0,4),点A、B在x轴上,并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q为线段AC上一点,若四边形OCPQ为平行四边形,求点Q的坐标.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q为线段AC上一点,若四边形OCPQ为平行四边形,求点Q的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵C (0,4),
∴OC=4.
∵OA=OC=4OB,
∴OA=4,OB=1,
∴A (4,0),B (-1,0),
设抛物线解析式:y=a(x+1)(x-4),
∴4=-4a,
∴a=-1.
∴y=-x2+3x+4.
(2)存在.
若△ACP是以AC为底的等腰三角形,则点P在AC的垂直平分线上,
∵OA=OC,
∴AC的垂直平分线OP即为∠AOC的平分线,
设P(m,-m2+3m+4),
则可得:m=-m2+3m+4,
∴m1=
+1,m2=1-
∴存在点P1(
+1,
+1),P2(1-
,1-
),使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形.
(3)设lAC:y=kx+b(k≠0),
∵过A (4,0),C (0,4),
∴lAC:y=-x+4.
∵四边形OCPQ为平行四边形,
∴PQ∥OC,PQ=OC,
设P(t,-t2+3t+4),Q(t,-t+4),
-t2+3t+4-(-t+4)=4.
∴t1=t2=2,
∴点Q(2,2).
∴OC=4.
∵OA=OC=4OB,
∴OA=4,OB=1,
∴A (4,0),B (-1,0),
设抛物线解析式:y=a(x+1)(x-4),
∴4=-4a,
∴a=-1.
∴y=-x2+3x+4.
(2)存在.
若△ACP是以AC为底的等腰三角形,则点P在AC的垂直平分线上,
∵OA=OC,
∴AC的垂直平分线OP即为∠AOC的平分线,
设P(m,-m2+3m+4),
则可得:m=-m2+3m+4,
∴m1=
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∴存在点P1(
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(3)设lAC:y=kx+b(k≠0),
∵过A (4,0),C (0,4),
∴lAC:y=-x+4.
∵四边形OCPQ为平行四边形,
∴PQ∥OC,PQ=OC,
设P(t,-t2+3t+4),Q(t,-t+4),
-t2+3t+4-(-t+4)=4.
∴t1=t2=2,
∴点Q(2,2).
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