已知函数f（x）=13x3-ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|-23的零点不超过4个，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(3)x³-ax²+3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．
（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|-(2)/(3)的零点不超过4个，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=(1)/(3)x³-2x²+3x，求导，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x∈（0，1）时，f′（x）>0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，3）时，f′（x）<0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，
由f（0）=f（0）=0，f（1）=(4)/(3)，
∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，(4)/(3)]；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2ax+3，则△=4a²-12，
①当△≤0，即a²≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，
②当△>0，即a²>3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x₁，x₂，且x₁<x₂，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=3，
则f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，
在（x₁，x₂）上单调递减，
由题意可知丨f（x₁）-f（x₂）丨≤(4)/(3)，
∴丨(x21-x22)/(3)-a（x₁²-x₂²）+3（x₁-x₂）丨≤(4)/(3)，
化简得：(4)/(3)（a²-3） (3)/(2)≤(4)/(3)，解得：3<a²≤4，
综合①②，可得a²≤4，
解得：-2≤a≤2．
a的取值范围[-2.2]．