一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．

Question

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．

Answer 1

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE=EF=(√(2))/(2)x，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，
则EG=√(DE2−DG2)=√((x2)/(2)−4)，FI=√(EF2−EI2)=√((x2)/(2)−4)，FH=FI+HI=FI+EG=2√((x2)/(2)−4)，在Rt△DHF中，DF²=DH²+FH²，即x²=4+（2√((x2)/(2)−4)）²，解得x=2√(3)．
即该三角形的斜边长为2√(3)．